一、问题与数据

某研究者想了解年龄、性别、BMI和总胆固醇（TC）预测患心脏病（CVD）的能力，招募了100例研究对象，记录了年龄（age）、性别（gender）、BMI，测量血中总胆固醇水平（TC），并评估研究对象目前是否患有心脏病（CVD）。部分数据如图1。

图1 部分数据

二、对问题分析

使用二分类Logistic模型前，需判断是否满足以下7项假设。

假设1：因变量（结局）是二分类变量。

假设2：有至少1个自变量，自变量可以是连续变量，也可以是分类变量。

假设3：每条观测间相互独立。分类变量（包括因变量和自变量）的分类必须全面且每一个分类间互斥。

假设4：最小样本量要求为自变量数目的15倍，但一些研究者认为样本量应达到自变量数目的50倍。

假设5：连续的自变量与因变量的logit转换值之间存在线性关系。

假设6：自变量之间无多重共线性。

假设7：没有明显的离群点、杠杆点和强影响点。

假设1-4取决于研究设计和数据类型，本研究数据满足假设1-4。那么应该如何检验假设5-7，并进行二分类Logistic回归呢？

三、SPSS操作

3.1 检验假设5：连续的自变量与因变量的logit转换值之间存在线性关系

连续的自变量与因变量的logit转换值之间是否存在线性关系，可以通过多种方法检验。这里主要介绍Box-Tidwell方法，即将连续自变量与其自然对数值的交互项纳入回归方程。

本研究中，连续的自变量包括age、BMI、TC。使用Box-Tidwell方法时，需要先计算age、BMI、TC的自然对数值，并命名为ln_age、ln_BMI、ln_TC。

（1）计算连续自变量的自然对数值

以age为例，计算age的自然对数值ln_age的SPSS操作如下。在主界面点击 Transform→Compute Variable，出现Compute Variable对话框。在Target Variable框中输入即将生成自然对数值的变量名称（如输入ln_age表示age的自然对数值）。选择Function group菜单下的Arithmetic，选择Functions and special variables菜单下的Ln，双击Ln将该公式选入Numeric Expression框中，最后双击age将该变量选入“LN（）”公式中。点击OK生成新变量ln_age（即age的自然对数值）。如图2。

图2 Compute Variable

此时新变量会同时出现在Variable View和Data View窗口中。在Data View窗口中，新生成的ln_age变量如图3。

图3 新生成ln_age变量

重复以上过程，将本研究中的所有连续自变量的自然对数值全部生成。在Data View中，新生成的ln_age，ln_BMI，ln_TC变量如图4。

图4 新生成ln_age、ln_BMI和ln_TC变量

（2）Box-Tidwell法

Box-Tidwell法检验连续的自变量与因变量的logit转换值之间是否存在线性关系的SPSS操作如下。在主界面中点击 Analyze→Regression→Binary Logistic。在Logistic Regression对话框中将变量CVD选入Dependent框中，将变量age、gender、BMI和TC选入Covariates框中。Methods选项选择默认值，即Enter。如果目前未选择Enter，应修改为Enter。如图5。

图5 Logistic Regression

点击Categorical，在Logistic Regression：Define Categorical Variables对话框中，将gender选入Categorical Covariates框中。在Change Contrast区域，将Reference Category从Last改为First后，点击Change→Continue。如图6。

图6 Categorical Variables

对于二分类变量（如本研究的gender），也可以不通过Categorical选项指定参照，SPSS将默认以赋值较低的变量为参照。

Categorical选项可将多分类变量（包括有序多分类和无序多分类）变换成哑变量，指定某一分类为参照。比如，某研究中COPD是多分类变量（分为无COPD病史、轻/中度、重度），如果指定“无COPD病史”的研究对象为参照组，可以分别比较“轻/中度”和“重度”组相对于参照组发生结局的风险。

Contrast右侧的下拉菜单中（该下拉菜单内的选项是几种与参照比较的方式），Indicator方式最常用，其比较方法为：第一类或最后一类为参照类，每一类与参照类比较）。在Reference Category的右侧选择First，表示本研究以女性（赋值为0）为对照组。

回到Logistic Regression对话框后，可见gender已显示为gender(Cat)。分类变量后显示“(Cat)”说明已正确定义分类变量。如图7。

图7 正确定义分类变量

设置好分类自变量后，开始生成交互项。以age和ln_age为例，同时选中age和ln_age（使用Ctrl键+鼠标点击），点击“>a*b>”键，将age* ln_age交互项选入Covariates框中。如图8。

图8 选入交互项

重复以上过程，将所有交互项都选入Covariates框中，点击OK。如图9。

图9 选入所有交互项

（3）假设5的检验结果

查看Variables in the Equation表格中，有交互作用的行及行内“Sig”值，本研究中为age by ln_age、BMI by ln_BMI和TC by ln_TC所在的行及行内“Sig”值。如图10。

图10 假设5的检验结果

如果交互作用有统计学意义（P<0.05），则说明对应的连续自变量与因变量logit转换值间没有线性关系（即不符合假设5）。尽管解释回归结果时通常不进行多重校正，但在检验线性假设时建议对纳入分析的所有项（包括截距项）进行Bonferroni法校正。

本研究中，共有8项纳入模型分析，包括三个连续自变量age、BMI、TC，分类自变量gender，三个交互作用项age*ln_age、BMI*ln_BMI、TC*ln_TC和截距项（Constant）。因此本研究中，建议选择显著性水平应为α=0.00625（即0.05 ÷ 8）。根据该显著性水平，本研究所有交互项的P值均高于0.00625，因此所有连续自变量与因变量logit转换值之间存在线性关系。

假设5检验完之后，有两种情况：①所有连续自变量与因变量的logit转换值间存在线性关系，则直接进行下一步；②如果一个及以上连续自变量与因变量的logit转换值间不存在线性关系，建议将该变量转换为有序分类变量。

3.2 检验假设6：自变量之间无多重共线性

与线性回归一样，二分类Logistic回归模型也需要检验自变量之间是否存在多重共线性。自变量之间的简单相关或多重相关都会产生多重共线性。容忍度（Tolerance）或方差膨胀因子（VIF）可以用来诊断自变量之间的多重共线性。遗憾的是，SPSS的Binary Logistic模块并不能提供容忍度或方差膨胀因子，但是我们可以通过线性回归来获得。由于我们关心的是自变量之间的关系，因此容忍度或方差膨胀因子与模型中因变量的函数形式无关。也就是说，我们可以将Logistic回归的因变量（二分类变量）、自变量（二分类、多分类或连续变量）直接带入线性回归模型，从而获得容忍度或方差膨胀因子。

在主界面点击Analyze→Regression→Linear，将变量CVD选入Dependent，将age、gender、BMI和TC选入Independent(s)，如图11。

图11 Linear Regression

点击Statistics，出现Linear Regression：Statistics对话框，点击Collinearity diagnostics→Continue→OK，如图12。结果如图13。

图12 Linear Regression：Statistics对话框

图13 Coefficients

如果容忍度（Tolerance）小于0.1或方差膨胀因子（VIF）大于10，则表示有共线性存在。本例中，容忍度均远大于0.1，方差膨胀因子均小于10，所以不存在多重共线性。如果数据存在多重共线性，则需要用复杂的方法进行处理，其中最简单的方法是剔除引起共线性的因素之一，剔除哪一个因素可以基于理论依据。

3.3 检验假设7：没有明显的离群点、杠杆点和强影响点

该假设的SPSS操作见下述3.4部分，此处仅展示如何解读结果。结果中Casewise List表格显示学生化残差大于2倍标准差的观测。学生化残差大于2.5倍标准差的观测需要研究者进一步观察决定这些观测是否是离群点，如有必要甚至可以从分析中剔除这些观测。

本例中，第15、55、65、78和99个观测（Case Number）的学生化残差绝对值均大于2.0，符合上述判断可能是离群点的标准。如图14。

图14 Casewise List

需要注意的是：①如果所有观测的学生化残差小于2倍标准差，SPSS不会输出Casewise List表格。如果已经剔除离群点，则第一次分析得到的Casewise Diagnostics表格不会再显示。②观测数（Case Number）指SPSS系统内自动编码（Data View窗口中最左侧蓝色一列中的编码），而非研究者赋值的编码。③研究者需要查看该观测为离群点的原因，决定是否删除该观测并报告。本研究暂考虑不删除离群点，并在结果中报告。

3.4 二分类Logistic回归

在主界面点击Analyze→Regression→Binary Logistic，在Logistic Regression对话框中，将CVD选入Dependent，将age、gender、BMI和TC选入Covariates。并按照3.1第2部分的操作，通过Categorical将gender变换为哑变量。如图15。

注意：如果按本文中指导逐步分析，此时Logistic Regression对话框下为因变量CVD，Covariates框中为4个自变量age、gender(Cat)、BMI、TC和3个交互项age* ln_age、BMI*ln_BMI、TC*ln_TC。此时仅需要将交互项age* ln_age、BMI*ln_BMI、TC*ln_TC从Covariates框中删除即可。

图15 Logistic Regression

对于自变量筛选的方法（Method对话框），SPSS提供了7种选择，使用各种方法的结果略有不同，读者可相互印证。各种方法之间的差别在于变量筛选方法不同，其中Forward: LR法（基于最大似然估计的向前逐步回归法）的结果相对可靠，但最终模型的选择还需要获得专业理论的支持。本文以Enter法为例进行展示（其它方法得到的结果，解释方法一样）。这里使用Enter法。

点击Options，在Logistic Regression: Options对话框中，选中Classification plots，Hosmer-Lemeshow goodness-of-fit，Casewise listing of residuals和CI for exp(B)这4个选项。在Display区域，选中At last step选项。点击Continue→OK。如图16。

图16 Logistic Regression：Options